Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn $x+y+z=1$. Chứng minh rằng
$\sqrt{x+(y-z)^2}+\sqrt{y+(z-x)^2}+\sqrt{z+(x-y)^2}\geq \sqrt{3}$
Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn $x+y+z=1$. Chứng minh rằng
$\sqrt{x+(y-z)^2}+\sqrt{y+(z-x)^2}+\sqrt{z+(x-y)^2}\geq \sqrt{3}$
Đặt $t=y-z$, $p=x-z$. Ta sẽ chứng minh $\sqrt{x+t^2}+\sqrt{y+p^2}\geq \sqrt{2(x+y)+(t+p)^2}\Leftrightarrow 4(x+t^2)(y+p^2)\geq (x+y)^2+4t^2p^2+4tp(x+y)\Leftrightarrow (x-y)^2+4xp(t-p)+4yp(p-t)\leq 0\Leftrightarrow (x-y)^2\left [ 1-4(x+y-z) \right ]\leq 0$
(đúng!).
Suy ra $VT\geq \sqrt{2(x+y)+(x+y-2z)^2}+\sqrt{z+(x-y)^2}=\sqrt{2(x+y)+(1-3z)^2}+\sqrt{z+(1-3z)^2}\geq \sqrt{2(1-z)+\frac{(1-3z)^2}{12}}+\sqrt{z+\frac{(1-3z)^2}{12}}=\sqrt{3}$
(đpcm)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vutuanhien: 01-06-2013 - 15:44
"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck
Mình thắc mắc 1 là sao 2 chỗ đỏ kia bằng nhau,2 là sao suy ra đc chỗ màu tím
Đặt $t=y-z$, $p=x-z$. Ta sẽ chứng minh $\sqrt{x+t^2}+\sqrt{y+p^2}\geq \sqrt{2(x+y)+(t+p)^2}\Leftrightarrow 4(x+t^2)(y+p^2)\geq (x+y)^2+4t^2p^2+4tp(x+y)\Leftrightarrow (x-y)^2+4xp(t-p)+4yp(p-t)\leq 0\Leftrightarrow (x-y)^2\left [ 1-4(x+y-z) \right ]\leq 0$
(đúng!).
Suy ra $VT\geq \sqrt{2(x+y)+(x+y-2z)^2}+\sqrt{z+(x-y)^2}=\sqrt{2(x+y)+(1-3z)^2}+\sqrt{z+(1-3z)^2}\geq \sqrt{2(1-z)+\frac{(1-3z)^2}{12}}+\sqrt{z+\frac{(1-3z)^2}{12}}=\sqrt{3}$
(đpcm)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyencuong123: 02-08-2013 - 07:50
Mình thắc mắc 1 là sao 2 chỗ đỏ kia bằng nhau,2 là sao suy ra đc chỗ màu tím
bạn không để ý giả thiết $x+y+z=1$ à
"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck
Mình thắc mắc 1 là sao 2 chỗ đỏ kia bằng nhau,2 là sao suy ra đc chỗ màu tím
theo cách của anh võ quốc bá cẩn thì ta có 1 cách nữa
giả sử $x\geq y \geq z$áp dụng bđt min cop ki ta có
$VT \geq\sqrt{(\sum \sqrt{x})^2+(x-y+y-z+x-z)^2}=\sqrt{(\sum \sqrt{x})^2+4(x-z)^2}$
bđt phải cm tương đương với $(\sum \sqrt{x})^2+4(x-z)^2\geq 3(x+y+z)\Leftrightarrow 3(x+y+z)-(\sum \sqrt{x})^2\leq 4(x-z)^2$
ta có $3(x+y+z)-(\sum \sqrt{x})^2=(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2+(\sqrt{y}-\sqrt{z})^2+(\sqrt{x}-\sqrt{z})^2\leq (\sqrt{x}-\sqrt{y}+\sqrt{y}-\sqrt{z})^2+(\sqrt{x}-\sqrt{z})^2=2(\sqrt{x}-\sqrt{z})^2$(1)
và $4(x-z)^2=4(\sqrt{x}+\sqrt{z})^2(\sqrt{x}-\sqrt{z})^2\geq 4(x+z)(\sqrt{x}-\sqrt{z})^2\geq 2(x+y+z)(\sqrt{x}-\sqrt{z})^2=2(\sqrt{x}-\sqrt{z})^2$(2)
từ 1 và 2 ta cps đpcm dấu = xảu ra khi x=y=0,5 z=0 (với đk $x \geq y \geq z$)
tàn lụi
bạn không để ý giả thiết $x+y+z=1$ à
Thế theo giả thiết ta có x-y=1-3z ak bạn
Thế theo giả thiết ta có x-y=1-3z ak bạn
Do tính đối xứng nên ta có thể giả sử $y\leq z$ và kết quả vẫn vậy .
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vutuanhien: 02-08-2013 - 17:48
"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh